Convolución FFT (Fast Fourier Transform)
Dadas las señales \(x_1[n]\) y \(x_2[n]\), la convolución en tiempo discreto se define como:
\[
y[n] = \sum_{k=0}^{N - 1} x_1[n] \cdot x_2[n-k]
\]
\(k\) es el equivalente al \(\tau\) de la convolución continua.
La convolución en el tiempo es la multiplicación en la frecuencia.
\[
\overset
{\text{Discrete-Time Convolution}}
{y[n] = x[n] * h[n]}
\overset
{\text{FFT}}
{\rightarrow}
\overset
{\text{Frequency Domain Multiplication}}
{y[k] = x[k] \cdot h[k]}
\]
Para pasar de la frecuencia al tiempo, utilizamos \(\text{iFFT}\) (inverse FFT).
\[
\overset
{\text{Frequency Domain Multiplication}}
{y[k] = x[k] \cdot h[k]}
\overset
{\text{iFFT}}
{\rightarrow}
\overset
{\text{Discrete-Time Convolution}}
{y[n] = x[n] * h[n]}
\]
Longitud de la convolución
Sean \(x_1[n]\) y \(x_2[n]\) señales no periódicas
de longitud \(L_1\) y \(L_2\) respectivamente
\[
N >= L_1 + L_2 - 1
\]
\(N\) puede ser cualquier valor mayor o igual a \(L_1 + L_2 - 1\).